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Álgebra A 62
2026
ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
4.
Analizar si los siguientes conjuntos de vectores generan $\mathbb{R}^{n}$ o no.
e) $n=4,\ \{(1,1,1,-1),(0,-1,1,-2),(1,1,0,1),(3,2,1,2)\}$.
e) $n=4,\ \{(1,1,1,-1),(0,-1,1,-2),(1,1,0,1),(3,2,1,2)\}$.
Respuesta
En este caso, $n = 4$, así que tenemos que ver si los vectores $\{(1,1,1,-1),(0,-1,1,-2),(1,1,0,1),(3,2,1,2)\}$ generan $\mathbb{R}^4$ o no.
💡 Para generar $\mathbb{R}^4$, que tiene dimensión $4$, necesitamos cuatro generadores de $\mathbb{R}^4$ que sean LI. Bueno, veamos si nuestro conjunto cumple con eso...
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Armamos la matriz...
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
Escalonamos...
$F_3 - F_1 \Rightarrow F_3$
$F_4 - 3F_1 \Rightarrow F_4$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 & 5 \end{pmatrix}$
$F_4 - F_2 \Rightarrow F_4$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 7 \end{pmatrix}$
$F_4 - 3F_3 \Rightarrow F_4$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Siiiii, son LI! 🤲 Así que perfecto, este conjunto contiene cuatro vectores de $\mathbb{R}^4$ que son LI 👉 Genera $\mathbb{R}^4$.
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